Autovalores y Autovectores. Definición y Cálculo

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Autovalor

Un autovalor es un número que describe cómo una transformación lineal (representada por una matriz) afecta a ciertos vectores particulares en un espacio. Cuando aplicamos la transformación a uno de estos vectores especiales (llamados autovectores), el resultado es el mismo vector, pero escalado por un factor constante, que es precisamente el autovalor. En otras palabras, el autovalor mide cuánto se "estira" o "comprime" un autovector bajo la acción de la transformación, o si incluso cambia su sentido (cuando el autovalor es negativo).

Autovector

Un autovector es un vector que permanece en la misma dirección después de que se le aplica una transformación lineal (o matriz). A diferencia de otros vectores que pueden cambiar tanto su dirección como su magnitud al ser transformados, los autovectores son especiales porque solo cambian su tamaño (escalados por su autovalor) y no su orientación. Esto significa que los autovectores representan direcciones "privilegiadas" o "invariantes" bajo la transformación.

Calculo de Autovalores y Autovectores

  1. Plantear la ecuación de autovalores:

    • Dada una matriz cuadrada A, la ecuación de autovalores es: 
      Av = λv
      donde:
      • A: La matriz
      • v: El autovector (un vector no nulo)
      • λ: El autovalor (un escalar)

  2. Reescribir la ecuación:

      Av - λv = 0

    Factorizando v:

      (A - λI)v = 0

    donde I es la matriz identidad.

  3. Encontrar el polinomio característico: Para que la ecuación anterior tenga una solución no trivial (v ≠ 0), el determinante de (A - λI) debe ser cero:

    det(A - λI) = 0

    Esta ecuación es un polinomio en λ y se llama polinomio característico de A.

  4. Resolver el polinomio característico: Al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de λ, que son los autovalores de A.

  5. Encontrar los autovectores: Para cada autovalor λ, sustituimos su valor en la ecuación (A - λI)v = 0 y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los vectores v correspondientes, que son los autovectores.

Ejemplo

Sea la matriz:

A = | 2 1 |
    | 1 2 |

  1. Planteamos la ecuación de autovalores:

    | 2 1 |   | x |   | λx |
| 1 2 | * | y | = | λy |

  2. Reescribimos y encontramos el polinomio característico:

    det(A - λI) = det | 2-λ 1 | = (2-λ)^2 - 1 = λ^2 - 4λ + 3 = 0
| 1 2-λ |

  3. Resolvemos el polinomio: Las raíces de este polinomio son λ₁ = 1 y λ₂ = 3. Estos son los autovalores de A.

  4. Encontramos los autovectores:

    • Para λ₁ = 1: 
      | 1 1 |   | x |   | 0 |
| 1 1 | * | y | = | 0 |
      La solución es cualquier vector de la forma (x, -x). Un ejemplo de autovector es (1, -1).
    • Para λ₂ = 3: 
      | -1 1 |   | x |   | 0 |
| 1 -1 | * | y | = | 0 |
      La solución es cualquier vector de la forma (x, x). Un ejemplo de autovector es (1, 1).

Entonces, los autovalores de A son 1 y 3, y los autovectores asociados son (1, -1) y (1, 1), respectivamente.

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